Question

3．已知函數(shù)f（x）在定義域[-1，1]上單調(diào)遞減，又當(dāng)a，b∈[-1，1]，且a+b=0時，f（a）+f（b）=0．
（Ⅰ）證明：f（x）是奇函數(shù)； 
（Ⅱ）求不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令b=-a，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可得證；
（Ⅱ）解此不等式的基本思路是f（1-m）+f（1-m²）＞0可化為f（1-m）＞-f（1-m²）=f（m²-1），然后利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，要注意定義域．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵當(dāng)a，b∈[-1，1]，且a+b=0時，f（a）+f（b）=0，
∴令b=-a，可得f（a）+f（-a）=0，
即f（-a）=-f（a），
∴f（x）是定義域為[-1，1]的奇函數(shù)；
（Ⅱ）由（1）得不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0
可化為f（1-m）＞-f（1-m²）=f（m²-1），
又∵f（x）在定義域[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{-1≤{m}^{2}-1≤1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤2}\\{-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}}\\{m＞1或m＜-2}\end{array}\right.$
解得1＜m≤$\sqrt{2}$，
∴不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0的解集為（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用：解不等式，考查運算能力，注意定義域的運用，屬于中檔題和易錯題．