Question

20．已知正方形ABCD和正方形ABEF，如圖所示，N，M分別是對角線AE，BD上的點，且$\frac{EN}{AN}$=$\frac{BM}{MD}$．求證：MN∥平面EBC

Answer 1

分析 過M作MP∥AB交BC于P，過N作NQ∥AB交BE于Q，連接PQ．根據(jù)比例關(guān)系和平行公理可得NQ$\stackrel{∥}{=}$PM，于是四邊形MNQP為平行四邊形，故而MN∥PQ，于是結(jié)論得證．

解答 證明：過M作MP∥AB交BC于P，過N作NQ∥AB交BE于Q，連接PQ．
∴$\frac{NQ}{AB}=\frac{EN}{AE}$，$\frac{PM}{CD}=\frac{PM}{AB}=\frac{BM}{BD}$，
∵$\frac{EN}{AN}=\frac{BM}{MD}$，∴$\frac{EN}{AE}=\frac{BM}{BD}$，
∴NQ=PM，
又NQ∥AB∥PM，
∴NQ∥PM，
∴四邊形MNQP為平行四邊形，
∴MN∥PQ，又MN?平面EBC，PQ?平面EBC，
∴MN∥平面EBC．

點評 本題考查了線面平行的判定定理，構(gòu)造平行線是證明的關(guān)鍵，屬于中檔題．