Question

8．如圖，在半徑為9的⊙O中，弦PQ∥直徑AB，且劣弧PQ=2π，
（1）求∠PQO的大�。�
（2）求sin（∠POQ+∠ABP）的值．

Answer 1

分析 （1）利用弧長公式可求∠POQ，利用等腰三角形的性質即可求得∠PQO的值；
（2）由（1）可求∠QPO的值，利用平行線的性質可求∠AOP=∠QPO=$\frac{7π}{18}$，進而根據(jù)∠AOP=2∠ABP，可求∠ABP的值，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 解：（1）∵劣弧PQ=2π，半徑為9，
∴由弧長公式可得：∠POQ=$\frac{2π}{9}$．
∵PO=OQ=R，
∴∠PQO=$\frac{π-∠POQ}{2}$=$\frac{7π}{18}$．
（2）由（1）可得：∠QPO=$\frac{7π}{18}$．
∵弦PQ∥直徑AB，
∴∠AOP=∠QPO=$\frac{7π}{18}$．
又∵∠AOP=2∠ABP，
∴∠ABP=$\frac{7π}{36}$．
∴sin（∠POQ+∠ABP）=sin（$\frac{2π}{9}$+$\frac{7π}{36}$）
=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了弧長公式，等腰三角形的性質，平行線的性質，特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．