Question

19．如圖所示，E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)（E、F不與邊的端點(diǎn)重合）．已知線段BF、BC的長分別為m、n、AB、BE的長是關(guān)于x的方程x²-18x+mn=0的兩個(gè)根．
（1）證明：A、E、F、C四點(diǎn)共圓；
（2）若n=2m=8，求四邊形AEFC外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平面幾何知識(shí)證得△FBE∽△ABC，進(jìn)一步得到∠BFE=∠BAC，從而得到A、E、F、C四點(diǎn)共圓；
（2）求解方程x²-18x+mn=0的兩個(gè)根，得到BE=2，AB=16．設(shè)所求外接圓的圓心為O，半徑為R，則圓心O為線段CE的中垂線與線段BD的中垂線的交點(diǎn)，利用勾股定理求得四邊形CBDE外接圓的半徑的平方得答案．

解答 （1）證明：連接EF，根據(jù)題意在△BEF和△ACB中，BF•BC=mn=BE•AB，
即$\frac{BF}{AB}=\frac{BE}{CB}$．…（2分）
又∠FBE=∠CBA，從而△FBE∽△ABC…（4分）
因此∠BFE=∠BAC．
所以A、E、F、C四點(diǎn)共圓．…（5分）
（2）解：當(dāng)m=4，n=8時(shí)，方程x²-18x+mn=0的兩個(gè)根為x₁=2，x₂=16．
故BE=2，AB=16…（7分）
如圖，設(shè)圓心為O，AE，CF的中點(diǎn)分別為Q，H，連接OQ，OH
則OE²=OQ²+EQ²=（$\frac{16-2}{2}$）²+（4+$\frac{8-4}{2}$）²=85…（9分）
故四邊形AEFC外接圓的面積為85π．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓內(nèi)接多邊形性質(zhì)的判斷，考查分析問題和求解問題的能力，屬中檔題．