Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的一部分圖象如圖所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）記g（x）=log₂[f（x）-1]，求函數(shù)g（x）的定義域．
（3）若對任意的x∈[-

π

6

，

π

6

]，不等式log

1

2

f（x）＞m-3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接由函數(shù)圖象得到A和T，利用走起公式求ω，再由三角函數(shù)的對稱性得到φ的等式，借助于φ的范圍求φ；
（2）直接由g（x）=log₂[f（x）-1]的真數(shù)大于0解三角不等式求得函數(shù)g（x）的定義域；
（3）由x的范圍求得f（x）的范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m的不等式，求解不等式得答案．

解答： 解：（1）由圖象可知A=

4-0

2

=2，B=

4+0

2

=2，

T

4

=

5π

12

-

π

6

=

π

4

，
∴T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴2×

π

6

+ϕ=2kπ+

π

2

，ϕ=2kπ+

π

6

(k∈Z)，
∵|ϕ|＜

π

2

，
∴ϕ=

π

6

；
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，要使函數(shù)g（x）=log₂[f（x）-1]有意義，
有f（x）-1＞0，故2sin(2x+

π

6

)+1＞0，即sin(2x+

π

6

)＞-

1

2

，
∴2kπ-

π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

7π

6

，
解得kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

2

(k∈Z)．
∴函數(shù)g（x）的定義域?yàn)?span id="weihf7w" class="MathJye">{x|2kπ-

π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

7π

6

，k∈Z}；
（3）對?x∈[-

π

6

，

π

6

]，有-

π

6

＜2x+

π

6

＜

π

2

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴1≤f（x）≤4．
則log

1

2

4≤log

1

2

f(x)≤log

1

2

1，即-2≤log

1

2

f(x)≤0．
若log

1

2

f(x)＞m-3對?x∈[-

π

6

，

π

6

]恒成立，
即log

1

2

f(x)的最小值大于m-3．
故-2＞m-3，即m＜1．

點(diǎn)評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，考查了三角函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．