Question

2．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)在y軸上，虛軸長(zhǎng)為12，離心率為$\frac{5}{4}$；
（2）頂點(diǎn)間的距離為4，漸近線方程為$y=±\frac{1}{2}x$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由已知條件利用待定系數(shù)法能求出雙曲線方程．
（2）當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由已知條件利用待定系數(shù)法能求出雙曲線方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵虛軸長(zhǎng)為12，離心率為$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{5}{4}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a=8，b=6，c=10，
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{64}-\frac{{x}^{2}}{36}=1$．
（2）當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵頂點(diǎn)間的距離為4，漸近線方程為$y=±\frac{1}{2}x$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．
當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵頂點(diǎn)間的距離為4，漸近線方程為$y=±\frac{1}{2}x$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=4，
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
綜上，所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)和待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．