2.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(b>a>0)與兩條平行線l1:y=x+a和l2:y=x-a的交點相連所得到的平行四邊形的面積為8b2,則該雙曲線的離心率為( 。
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$D.$\frac{5}{2}$

分析 將直線y=x+a代入雙曲線的方程,運用韋達定理和弦長公式,再由兩平行直線的距離公式,結(jié)合平行四邊形的面積公式,化簡整理,運用雙曲線的離心率公式,計算即可得到所求值.

解答 解:由y=x+a代入雙曲線的方程,可得(b2-a2)x2-2a3x-a4-a2b2=0,
設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=$\frac{2{a}^{3}}{^{2}-{a}^{2}}$,x1x2=$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$,
由弦長公式可得|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{(\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}-^{2}})^{2}-\frac{4({a}^{4}+{a}^{2}^{2})}{{a}^{2}-^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$,
由兩平行直線的距離公式可得d=$\frac{|-a-a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$a,
由題意可得8b2=2$\sqrt{2}$•$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$•$\sqrt{2}$a,
化為a2=2b2,即b2=$\frac{1}{2}$a2,又b2=c2-a2=$\frac{1}{2}$a2,
可得c2=$\frac{3}{2}$a2,即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
故選:A.

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意直線和雙曲線的方程聯(lián)立,運用韋達定理和弦長公式,以及兩平行直線的距離公式,考查運算化簡能力,屬于中檔題.

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喜歡數(shù)學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)合計
男生602080
女生101020
合計7030100
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認為“男生和女生在喜歡數(shù)學(xué)方面有差異”;
(2)在被調(diào)查的女生中抽出5名,其中2名喜歡數(shù)學(xué),現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡數(shù)學(xué)的概率.
附:參考公式:K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k)0.1000.0500.010
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