Question

19．如圖所示，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，點A、F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O上的動點，且$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$為定值，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁），由$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$是常數(shù)，得$（{x}_{1}+a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=λ[（{x}_{1}+c）^{2}+{{y}_{1}}^{2}]$，然后利用$x_1^2+y_1^2={b^2}$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁ 的方程，由系數(shù)相等可得a，c的關(guān)系式，從而求得橢圓C的離心率．

解答 解：設(shè)F（-c，0），c²=a²-b²，
設(shè)P（x₁，y₁），要使得$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$是常數(shù)，則有$（{x}_{1}+a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=λ[（{x}_{1}+c）^{2}+{{y}_{1}}^{2}]$，λ是常數(shù)，
∵$x_1^2+y_1^2={b^2}$，
∴${b^2}+2a{x_1}+{a^2}=λ（{b^2}+2c{x_1}+{c^2}）$，
比較兩邊系數(shù)得b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故c（b²+a²）=a（b²+c²），即2ca²-c³=a³，
即e³-2e+1=0，即（e-1）（e²+e-1）=0，
又0＜e＜1，
∴$e=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，利用$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$為定值得到a，c的關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．