Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（2a-1）x-2lnx，其中a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入f（x），求出f′（1）的值，從而求出切線方程；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=-x-2lnx，f′（x）=-1-$\frac{2}{x}$，
∴k=f′（1）=-1-2=-3，
∴切線方程是：y+1=-3（x-1），
即：3x+y-2=0；
（2）f′（x）=ax+（2a-1）-$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x+2）}{x}$，
①a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞減，
②a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評 本題考查了曲線的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．