Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{6}{a}$|+|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥2$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）若f（3）＜7，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由a＞0，有f（x）=|x+$\frac{6}{a}$|+|x-a|≥丨（x+$\frac{6}{a}$）-（x-a）丨=$\frac{6}{a}$+a≥2$\sqrt{6}$，即可證明：f（x）≥2$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）f（3）＜7，當(dāng)a＞3時，f（3）=a+$\frac{6}{a}$，由f（3）＜7，求得3＜a＜6，0＜a≤3時，f（3）=6-a+$\frac{6}{a}$，求得2＜a≤3，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：由a＞0，有f（x）=|x+$\frac{6}{a}$|+|x-a|≥丨（x+$\frac{6}{a}$）-（x-a）丨=$\frac{6}{a}$+a≥2$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{6}{a}$=a，即a=$\sqrt{6}$時，取等號，
∴f（x）≥2$\sqrt{6}$；…（5分）
（Ⅱ）f（3）=3+$\frac{6}{a}$+|3-a|．
當(dāng)a＞3時，f（3）=a+$\frac{6}{a}$，由f（3）＜7，得1＜a＜6，
∴3＜a＜6．…（8分）
當(dāng)0＜a≤3時，f（3）=6-a+$\frac{6}{a}$，由f（3）＜7，得a＞2或a＜-3，
∴2＜a≤3，…（11分）
綜上，a的取值范圍是（2，6）．…（12分）

點評 本題考查含絕對值不等式的解法，考查基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式不等式的解法，考查分類討論思想，屬于中檔題．