Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+y²=4和動直線l：x=my+1．
（1）證明：不論m為何值時，直線l與圓C都相交；
（2）若直線l與圓C相交于A，B，點A關于軸x的對稱點為A₁，試探究直線A₁B與x軸是否交于一個定點？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓C：x²+y²=4和動直線l：x=my+1聯(lián)立方程組，利用判別式進行判斷即可．
（2）直線l與圓C相交于A，B，設出A，B坐標，利用韋達定理建立關系，求解直線A₁B方程，令y=0求解x的值s是一個定值即可．

解答 證明：（1）由題意，圓C：x²+y²=4和動直線l：x=my+1聯(lián)立方程組，消去x，可得：（m²+1）y²+2my-3=0，
由判別式△=4m²+12（m²+1）=16m²+12＞0
∴不論m為何值時，直線l與圓C都相交；
解：（2）直線l與圓C相交于A，B，設A坐標為（x₁，y₁），B坐標為（x₂，y₂），點A關于軸x的對稱點為A₁，
∴A′的坐標為（x₁，-y₁）
直線A₁B方程為：y+y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）
由（1）可得：（m²+1）y²+2my-3=0，
那么：${y}_{2}+{y}_{1}=\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$，${y}_{1}•{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+1}$
同理，消去y，可得：（m²+1）x²-2x+1-4m²=0
那么：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{{m}^{2}+1}$，${x}_{1}{•x}_{2}=\frac{1-4{m}^{2}}{{m}^{2}+1}$，
令直線A₁B方程：y+y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）中的y=0，
解得：x=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$是一個定值常數(shù)．
故得直線A₁B與x軸交于一個定點為（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，0）．

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查直線恒過定點，考查學生的計算能力，屬于中檔題