Question

4．曲線x²+4y²-6x-16y+21=0與平行y軸的直線交于A，B兩點，曲線的中心為O′，試求△O′AB面積的最大值．

Answer 1

分析 將取消方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出三角形的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：曲線x²+4y²-6x-16y+21=0，可化為（x-3）²+4（y-2）²=4，中心為O′（3，2），
將坐標(biāo)系平移到O′，方程為$\frac{x{′}^{2}}{4}+y{′}^{2}$=1，
設(shè)y′=a（-1＜a＜1），則x′=±$\sqrt{4-4{a}^{2}}$，
∴三角形的面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{4-4{a}^{2}}$•|a|=2$\sqrt{（1-{a}^{2}）{a}^{2}}$≤1-a²+a²=1，
∴S的最大值為1，
∴△O′AB面積的最大值為1．

點評 本題考查曲線與方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．