Question

20．已知點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：y=x-2的距離的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，欲求P到直線y=x-2的距離的最小值即求切點(diǎn)到直線的距離，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
由$y'=2x-\frac{1}{x}=1$可得x=1，
所以切點(diǎn)為（1，1），
它到直線x-y-2=0的距離d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
即點(diǎn)P到直線l：y=x-2的距離的最小值為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題