Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$，如圖所示，若$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，且D為BC中點，則$\overrightarrow{AD}$的長度為（　�。�

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 AD為△ABC的中線，從而有$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，帶入$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，根據(jù)長度$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{{\overrightarrow{AD}}^{2}}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{AD}$的長度．

解答 解：根據(jù)條件：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}（5\overrightarrow{a}+2\overrightarrow+\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$=$\frac{1}{2}（6\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=3\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$；
∴$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{（3\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-3\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{4}{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{72-18+\frac{9}{4}}=\frac{15}{2}$．
故選：A．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量長度的求法：$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{{\overrightarrow{AD}}^{2}}$，向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式．