Question

20．已知過⊙O：x²+y²=r²（r＞0）上一點(diǎn)M作⊙O的切線l與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），r=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，4），求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（2）若切線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為N（1，1），試求⊙O的方程．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，由M（2，2），可得k_OM=1，可得：k_l=-1．可得切線l的方程為：y-2=-（x-2），與橢圓方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用“點(diǎn)差法”可得切線的斜率及其切線方程，可得圓的半徑．

解答 解：（1）如圖所示，
由M（2，2），可得k_OM=1，∴k_l=-1．
∴切線l的方程為：y-2=-（x-2），化為：y=-x+4．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化為13x²-32x-80=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{20}{13}}\\{{y}_{2}=\frac{72}{13}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=$-\frac{80}{13}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$\frac{{y}_{1}^{2}}{36}+\frac{{x}_{1}^{2}}{16}=1$，$\frac{{y}_{2}^{2}}{36}+\frac{{x}_{2}^{2}}{16}=1$，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{36}$+$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
∴$k=-\frac{9}{4}$，
∴切線l的方程為：y-1=-$\frac{9}{4}$（x-1），
化為9x+4y-13=0，
∴r=$\frac{|0-13|}{\sqrt{{9}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{13}{\sqrt{97}}$．
∴⊙O的方程為：x²+y²=$\frac{169}{97}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)、數(shù)量積運(yùn)算、圓的切線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．