Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}$=$\frac{1}{c}$．
（1）證明：a，c，b成等比數(shù)列；
（2）若△ABC的外接圓半徑為$\sqrt{3}$，且4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}$=$\frac{1}{c}$，由余弦定理可得：$\frac{\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{a}$+$\frac{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}}$=$\frac{1}{c}$，化簡即可證明．
（2）4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，C為銳角，利用積化和差可得：$sin（2C-\frac{π}{6}）$=1，C∈（0，$\frac{π}{2}$），$（2C-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．解得C=$\frac{π}{3}$．利用余弦定理可得a²+b²-c²=2abcos$\frac{π}{3}$，又c²=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．

解答 （1）證明：∵$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}$=$\frac{1}{c}$，由余弦定理可得：$\frac{\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{a}$+$\frac{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}}$=$\frac{1}{c}$，化為c²=ab，∴a，c，b成等比數(shù)列．
（2）解：4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，∴C為銳角，2$[sin（2C-\frac{π}{6}）+sin（-\frac{π}{6}）]$=1，化為：$sin（2C-\frac{π}{6}）$=1，
C∈（0，$\frac{π}{2}$），$（2C-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
∴a²+b²-c²=2abcos$\frac{π}{3}$，又c²=ab，∴（a-b）²=0，解得a=b．
∴△ABC的周長=3a=$3×2×\sqrt{3}×sin\frac{π}{3}$=9．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、積化和差，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．