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3．已知數列{an}的通項an=log（n+1）（n+2），（n∈N*）我們把使乘積a1a2a3…an為整數的n叫做“優(yōu)數”，則在（1，2016]內的所有“優(yōu)數”的和為2026．

分析 由題意可得，a1•a2…an=log23•log34•…•logn+1（n+2）=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×$\frac{lg5}{lg4}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log2（n+2），若使log2（n+2）為整數，則n+2=2k，在（1，2010]內的所有整數可求，進而利用分組求和及等比數列的求和公式可求．

解答 解：∵an=logn+1（n+2）
∴a1•a2…an=log23•log34•…•logn+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×$\frac{lg5}{lg4}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log2（n+2），
若使log2（n+2）為整數，則n+2=2k
在（1，2010]內的所有整數分別為：22-2，23-2，…，210-2
∴所求的數的和為22-2+23-2+…+210-2=$\frac{4（1-{2}^{9}）}{1-2}$-2×9=2026
故答案為：2026．

點評 本題以新定義“優(yōu)數”為切入點，主要考查了對數的換底公式及對數的運算性質的應用，屬于中檔試題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

19．已知函數f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）在（0，π）上有且只有兩個零點，則實數ω的取值范圍為（　�。�
A．$（{0，\frac{4}{3}}]$B．$（{\frac{4}{3}，\frac{7}{3}}]$C．$（{\frac{7}{3}，\frac{10}{3}}]$D．$（{\frac{10}{3}，\frac{13}{3}}]$

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

20．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2sin2A+sin（A-B）=sinC，且$A≠\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求$\frac{a}$的值；
（Ⅱ）若c=2，$C=\frac{π}{3}$，求△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

11．設函數f（x）的定義域為R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，-1≤x≤0}\\{{3}^{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，且對任意的x∈R都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，若在區(qū)間[-5，1]上函數g（x）=f（x）-mx+m恰有5個不同零點，則實數m的取值范圍是（　�。�
A．[-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{6}$）B．（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]C．（-$\frac{1}{6}$，0]D．（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{6}$]

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{3}{5}$，且短軸長為8
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，若△F1MN的內切圓周長為π，M（x1，y1）、N（x2，y2），求|y1-y2|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

8．與函數y=x相同的函數是（　　）
A．y=$\sqrt{{x}^{2}}$B．y=$\frac{{x}^{2}}{x}$
C．y=（$\sqrt{x}$）2D．y=logaax（a＞0且a≠1）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}$=$\frac{1}{c}$．
（1）證明：a，c，b成等比數列；
（2）若△ABC的外接圓半徑為$\sqrt{3}$，且4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，求△ABC的周長．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

12．已知向量$\overrightarrow m=（{a，2}），\overrightarrow n=（{1，1-a}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，則實數a的值為（　�。�
A．0B．2C．-2或1D．-2

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

13．（3x+2）15展開式中最大系數是第7項．

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