Question

7．已知平面直角坐標系xOy中，A（6，2$\sqrt{3}$），B（4，4），圓C是△OAB的外接圓．
（1）求圓C的一般方程；
（2）若過點P（0，4$\sqrt{3}$）的直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設出圓的一般式方程，把三點坐標代入列方程組，求出系數(shù)；
（2）分兩種情況求解：當直線的斜率不存在時，只需要驗證即可；當直線的斜率存在時，根據(jù)直線l與圓C相切，所以圓心到直線距離為4，求直線的斜率．

解答 解：（1）設圓C方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由題意列方程組$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{4D+4E+F+32=0}\\{6D+2\sqrt{3}E+F+48=0}\end{array}\right.$，
解得D=-8，E=F=0．所以圓C：（x-4）²+y²=16；
（2）圓C：（x-4）²+y²=16，圓心C（4，0），半徑4，
當斜率不存在時，l：x=0符合題意；
當斜率存在時，設直線l：y=kx+4$\sqrt{3}$，即kx-y+4$\sqrt{3}$=0，
因為直線l與圓C相切，所以圓心到直線距離為4，
所以$\frac{|4k+4\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，所以k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直線l：x+$\sqrt{3}$y-12=0，
故所求直線l為x=0或x+$\sqrt{3}$y-12=0．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，通常用一般式計算要簡單；另外圓與直線相切時，圓心到直線距離等于半徑，注意用到斜率考慮是否存在問題，這是易錯處．