Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+x，則不等式f（x）+f（x²-2）＞0的解集是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+x，
∴f（x）+f（-x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-x+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+x=ln（f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+x）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
=ln（x²+1-x²）=ln1=0，
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，即函數(shù)在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
則不等式等價(jià)為式f（x²-2）＞-f（x）=f（-x），
即x²-2＞-x，即x²+x-2＞0，
得x＞1或x＜-2，
即不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．