Question

已知在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知c=2，向量

m

=（c，

3

b），

n

=（cosC，sinB），且

m

∥

n

．
（1）求角C的大�。�
（2）若sin（A+B），sin2A，sin（B-A）成等差數(shù)列，求邊a的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理即可得出；
（2）由sin（A+B），sin2A，sin（B-A）成等差數(shù)列，可得2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A），cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．再利用直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

∥

n

，
∴

3

bcosC-csinB=0，
由正弦定理可得：

3

sinBcosC-sinCsinB=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=

3

，C∈（0，π），
∴C=

π

3

．

（2）∵sin（A+B），sin2A，sin（B-A）成等差數(shù)列，
∴2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A），
化為4sinAcosA=2sinBcosA，
∴cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．
當(dāng)cosA=0時(shí)，A∈（0，π），
∴A=

π

2

，
∴a=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

．
當(dāng)2a=b時(shí)．由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=a2+4a2-4a2cos

π

3

，
化為a2=

4

3

，
解得a=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差的正弦公式、正弦定理余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．