Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．

（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）求點(diǎn)B₁到平面ACC₁A₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB⊥BC₁，C₁B⊥BC，由此能證明C₁B⊥平面ABC．
（2）點(diǎn)B₁轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B，利用等體積，即可求點(diǎn)B₁到平面ACC₁A₁的距離．

解答 解：（1）因?yàn)閭?cè)面AB⊥BB₁C₁C，BC₁?側(cè)面BB₁C₁C，
故AB⊥BC₁，…（2分）
在△BCC₁中，$BC=1，C{C_1}=B{B_1}=2，∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$
由余弦定理得：$B{{C}_{1}}^{2}$=${1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos\frac{π}{3}$=3
所以$B{C_1}=\sqrt{3}$故$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，所以BC⊥BC₁，…（4分）
而B(niǎo)C∩AB=B，所以BC₁⊥平面ABC…（6分）
（2）點(diǎn)B₁轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B，${V_{{C_1}-ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（8分）${S_{△AC{C_1}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（10分）
又${V_{{C_1}-ABC}}={V_{{B_1}-AC{C_1}}}$
所以點(diǎn)B₁到平面ACC₁A₁的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線線垂直，考查點(diǎn)B₁到平面ACC₁A₁的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．