Question

4．設(shè)數(shù)列{b_n}，{c_n}，已知b₁=3，c₁=5，b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$（n∈N^*）
（Ⅰ）設(shè)a_n=c_n-b_n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）求證：對(duì)任意n∈N^*，b_n+c_n為定值
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$（n∈N^*），可得c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}（{c}_{n}-_{n}）$，可得${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_{n}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$（n∈N^*），相加可得b_n+1+c_n+1=$\frac{1}{2}（_{n}+{c}_{n}）+4$，由于b₁+c₁=8，即可證明；
（III）由（II）可得：b_n=8-c_n，得到${c}_{n+1}=\frac{12-{c}_{n}}{2}$，變形為${c}_{n+1}-4=-\frac{1}{2}（{c}_{n}-4）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：${c}_{n}=4+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，可得S_n=4n+$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，由于對(duì)任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，可得$1≤p•\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]≤3$，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 （I）解：∵b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$（n∈N^*），∴c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}（{c}_{n}-_{n}）$，
∴${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_{n}$，a₁=c₁-b₁=5-3=2，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為-$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）證明：∵b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$（n∈N^*），
∴b_n+1+c_n+1=$\frac{1}{2}（_{n}+{c}_{n}）+4$，
∵b₁+c₁=8，
∴b₂+c₂=$\frac{1}{2}×8+4$=8，
依此類推可得：b_n+c_n=8為定值．
（III）解：由（II）可得：b_n=8-c_n，
∴${c}_{n+1}=\frac{12-{c}_{n}}{2}$，
變形為${c}_{n+1}-4=-\frac{1}{2}（{c}_{n}-4）$，
∴數(shù)列{c_n-4}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$-\frac{1}{2}$，
∴c_n-4=$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${c}_{n}=4+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴S_n-4n=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∵對(duì)任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，
∴$1≤p•\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]≤3$，
∴$\frac{1}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$≤p≤$\frac{3}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$\frac{1}{\frac{2}{3}（1+\frac{1}{{2}^{n}}）}≤$p≤$\frac{3}{\frac{2}{3}（1+\frac{1}{{2}^{n}}）}$，∴$\frac{3}{2}＜p≤3$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$\frac{1}{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$≤p≤$\frac{3}{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$，∴3≤p$＜\frac{9}{2}$．
∴p=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．