Question

13．化簡(jiǎn)求值：sin⁶1°+sin⁶2°+sin⁶3°+…+sin⁶89°+sin⁶90°．

Answer 1

分析 由cos⁶α+sin⁶α=1-3cos²αsin²α，原式由誘導(dǎo)公式可化為：t=44-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°）+（$\frac{1}{8}$+1），根據(jù)誘導(dǎo)公式和sin²α+cos²α=1即可求得2t的值，即可得解．

解答 解：∵cos⁶α+sin⁶α=（cos²α+sin²α）³-（3cos⁴αsin²α+3cos²αsin⁴α）=1-3cos²αsin²α
∴sin⁶1°+sin⁶2°+sin⁶3°+…+sin⁶89°+sin⁶90°
=（cos⁶1°+sin⁶1°）+（cos⁶2°+sin⁶2°）+…+（cos⁶44°+sin⁶44°）+（sin⁶45°+sin⁶90°）
=（1-3cos²1°sin²1°）+（1-3cos²2°sin²2°）+…+（1-3cos²44°sin²44°）+（sin⁶45°+sin⁶90°）
=44-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°）+（$\frac{1}{8}$+1）
令t=44-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°）+（$\frac{1}{8}$+1）
2t=88-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°+sin²88°+sin²86°+…+sin²2°）+2×$\frac{9}{8}$，
∴t=44-$\frac{3}{4}×22$+$\frac{9}{8}$=$\frac{229}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．