Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n且S_n+1=$\frac{3}{2}$S_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，求滿足不等式T_n＜$\frac{12}{{S}_{n}+2}$的n值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{2}$，從而${a}_{n}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，所以T_n=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，又${S}_{n}=2（\frac{3}{2}）^{n}-2$，所以不等式T_n＜$\frac{12}{{S}_{n}+2}$可化簡為$（\frac{2}{3}）^{n}＞\frac{1}{3}$，解得n=1或2．

解答 解：（1）∵${S_{n+1}}=\frac{3}{2}{S_n}+1$  （n∈N^*）
∴${S}_{n+2}=\frac{3}{2}{S}_{n+1}+1$，
故${S}_{n+2}-{S}_{n+1}=\frac{3}{2}（{S}_{n+1}-{S}_{n}）$，
所以$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{2}$，
又a₁=1，
所以${a}_{2}=\frac{3}{2}$，
從而數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，
則有${a}_{n}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
${T}_{n}=\frac{1×[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，
又${S}_{n}=2（\frac{3}{2}）^{n}-2$，
所以不等式T_n＜$\frac{12}{{S}_{n}+2}$即為$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]＜\frac{12}{2（\frac{3}{2}）^{n}-2+2}$，
化簡得$（\frac{2}{3}）^{n}＞\frac{1}{3}$，
解得n=1或2．

點評 本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和等知識，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．