【題目】設(shè)點,動點滿足,的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)過定點作直線交曲線兩點.設(shè)為坐標(biāo)原點,若直線軸垂直,求面積的最大值;

(3)設(shè),在軸上,是否存在一點,使直線的斜率的乘積為非零常數(shù)?若存在,求出點的坐標(biāo)和這個常數(shù);若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)1;(3)存在,存在點,常數(shù)為

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義判斷并根據(jù)對應(yīng)量的含義求標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立解得交點坐標(biāo),表示出三角形面積,最后根據(jù)基本不等式求最值;

(3)先用坐標(biāo)化簡直線的斜率的乘積,再設(shè)直線方程,并與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理化簡兩斜率的乘積式,最后根據(jù)恒成立解得點的坐標(biāo)和斜率的乘積常數(shù)值.

(1)依題意可得:曲線為橢圓,

其中心在原點,長軸的長,半焦距,

因此,曲線的方程為.

(2)不妨設(shè)直線與橢圓的交點為,

,

當(dāng)且僅當(dāng),亦即時取等號,

綜上可得,面積的最大值為1.

(3)設(shè)直線與橢圓的交點為.

依題意,可設(shè)直線

消去并整理得,

,()

……

……

若存在定點符合題意,且(為非零常數(shù))

,

把①②式代入此式并整理得:

(這里為常數(shù),且為非零常數(shù)).

要使得上式對變量恒成立,只須(注意到),

解得.

即當(dāng)定點是橢圓的右頂點時,非零常數(shù);

當(dāng)定點是橢圓的左頂點時,非零常數(shù).

綜上,在軸上,存在點,

使直線的斜率的乘積為非零常數(shù),或存在點,

使直線的斜率的乘積為非零常數(shù).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間,內(nèi)的頻率之比為

)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;

用分層抽樣的方法在區(qū)間內(nèi)抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任意

抽取2件產(chǎn)品,求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間內(nèi)的概率

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【題目】如圖,在四棱錐,四邊形是矩形,平面平面, 中點.

Ⅰ)求證: 平面;

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某單位共有10名員工,他們某年的收入如下表:

員工編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年薪(萬元)

4

4.5

6

5

6.5

7.5

8

8.5

9

51

1)求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù);

2)已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系,某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬元、5.5萬元、6萬元、8.5萬元,預(yù)測該員工第六年的年薪為多少?

附:線性回歸方程中系數(shù)計算公式分別為:,,其中、為樣本均值.

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【題目】如圖,在以為頂點的五面體中,面是邊長為3的菱形.

(1)求證:;

(2)若,,,,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市一農(nóng)產(chǎn)品近六年的產(chǎn)量統(tǒng)計如下表:

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代碼

1

2

3

4

5

6

年產(chǎn)量(千噸)

5.1

5.3

5.6

5.5

6.0

6.1

觀察表中數(shù)據(jù)看出,可用線性回歸模型擬合的關(guān)系.

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),將以下表格空白部分的數(shù)據(jù)填寫完整,并建立關(guān)于的線性回歸方程;

總和

均值

1

2

3

4

5

6

5.1

5.3

5.6

5.5

6.0

6.1

1

4

9

16

25

36

5.1

10.6

16.8

22

30

36.6

121.1

(2)若在2025年之前該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價格(單位:元)與年產(chǎn)量滿足的關(guān)系式為,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能全部銷售.預(yù)測在2013~2025年之間,某市該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額在哪一年達到最大.

附:對于一組數(shù)據(jù),…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為: ,.

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【題目】如圖,在三棱錐中,為等邊三角形,,面積是面積的兩倍,點在側(cè)棱上.

(1)若,證明:平面平面;

(2)若二面角的大小為,且的中點,求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】2018年,依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負載力,短視頻快速崛起;與此同時,移動閱讀方興未艾,從側(cè)面反應(yīng)了人們對精神富足的一種追求,在習(xí)慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后,部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊的嚴(yán)肅閱讀青睞有加.

某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N100名用戶的日使用時長(單位:分鐘),繪制成頻率分布直方圖如下,其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為活躍用戶

1)請?zhí)顚懸韵?/span>列聯(lián)表,并判斷是否有995%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)?

活躍用戶

不活躍用戶

合計

城市M

城市N

合計

2)以頻率估計概率,從城市M中任選2名用戶,從城市N中任選1名用戶,設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3)該讀書APP還統(tǒng)計了20184個季度的用戶使用時長y(單位:百萬小時),發(fā)現(xiàn)y與季度()線性相關(guān),得到回歸直線為,已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時,試以此回歸方程估計2019年第一季度()該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時.

附:,其中

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形是菱形,點的中點.

(I)求證:// 平面

(II)若平面平面, 求直線與平面所成角的正弦值.

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