Question

18．已知在三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若AB=BC=PA，求二面角B-PA-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，取線段AC的中點O，連接OB，OP．由PA=PC，利用等腰三角形的性質可得PO⊥AC．由∠ABC=90°，可得OA=OB=OC，利用勾股定理的逆定理可得OA²+OP²=PB²，因此OB⊥OP，即可證明．
（2）不妨取OA=$\sqrt{2}$，則AP=2．由AB=BC，可得BO⊥AC，由（1）平面PAC⊥平面ABC，可得BO⊥平面PAC．取AP的中點D，連接OD，BD．由已知可得△PAB是等邊三角形，BD⊥AP，AP⊥DO，∠ODB是二面角B-PA-C的平面角，利用等邊三角形、直角三角形的性質及其邊角關系即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，取線段AC的中點O，連接OB，OP．
∵PA=PC，∴PO⊥AC．
∵∠ABC=90°，∴OA=OB=OC，
∴PA²=OB²+OP²=OA²+OP²，又PA=PB，
∴OA²+OP²=PB²，
∴OB⊥OP，又OB∩AC=O，
∴OP⊥平面ABC，又OP?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）解：不妨取OA=$\sqrt{2}$，則AP=2．
∵AB=BC，∴BO⊥AC，
由（1）平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC．
∴BO⊥平面PAC．
取AP的中點D，連接OD，BD．
∵AB=PA=PB，∴△PAB是等邊三角形，
∴BD⊥AP，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\sqrt{3}$．
∴AP⊥DO，∠ODB是二面角B-PA-C的平面角，
又OD=1，在Rt△OBD中，tan∠ODB=$\frac{OB}{OD}$=$\sqrt{2}$．
∴二面角B-PA-C的平面角的正切值是$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了空間位置關系及其空間角、線面面面垂直的判定與性質定理、直角三角形與等邊三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．