Question

12．在三棱錐P-ABC中，F(xiàn)，M分別是棱PB，AC的中點，E為PC上一動點．
（1）若AF∥平面MEB，試確定點E的位置，并證明你的結論．
（2）在滿足（1）的條件下，求三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比．

Answer 1

分析 （1）當E為PC上靠近C的三等分點時，取PE中點G，則E為CG中點，連結FG、AG，推導出平面AGF∥平面MEB，從而得到AF∥平面MEB．
（2）由M是PC中點，得$S△BMC=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，由E為PC上靠近C的三等分點，設點P到平面ABC的距離為h，則E到平面BMC的距離為$\frac{1}{3}h$，由此能求出三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比．

解答 解：（1）當E為PC上靠近C的三等分點時，AF∥平面MEB．
證明：取PE中點G，則E為CG中點，
連結FG、AG，
∵F，M分別是棱PB，AC的中點，G為PE中點，E為CG中點，
∴GF∥BE，ME∥AG，
∵AG∩FG=G，ME∩BE=E，
AG、FG?平面AGF，ME、BE?平面MEB，
∴平面AGF∥平面MEB，
∵AF?平面AGF，∴AF∥平面MEB．
（2）∵M是PC中點，∴$S△BMC=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
∵E為PC上靠近C的三等分點，
設點P到平面ABC的距離為h，
∴E到平面BMC的距離為$\frac{1}{3}h$，
∴三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比：
$\frac{{V}_{C-MEB}}{{V}_{C-PAB}}$=$\frac{{V}_{E-BMC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{S}_{△BMC}×\frac{1}{3}h}{\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h}$=$\frac{1}{6}$．
∴三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比為$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定，考查兩個三棱錐的體積之比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)產．