Question

19．實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²≤5，則3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值是（　�。�

• A． 27+6$\sqrt{5}$
• B． 27
• C． 30
• D． 336

Answer 1

分析 設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤5，θ∈[0，2π），所給的式子化為 27+3|x+y|+3（x-y），分類討論求得它的最大值．

解答 解：設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤5，θ∈[0，2π）．
則|4y|=4rsinθ≤4$\sqrt{5}$＜9，
|7y-3x|=|7rsinθ-3rcosθ|≤$\sqrt{49+9}$ r≤$\sqrt{290}$＜18，
|x+y|=|$\sqrt{2}$rsin（θ+$\frac{π}{4}$）|≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$，
∴3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|=3|x+y|+（4y+9）+（18-7y+3x）
=27+3|x+y|+3（x-y）．
當(dāng)|x+y≥0時(shí)，27+3|x+y|+3（x-y）=27+6x=27+6rcosθ≤27+6$\sqrt{5}$，
當(dāng)|x+y＜0時(shí)，27+3|x+y|+3（x-y）=27+6x=27+6rcosθ≤27+6$\sqrt{5}$，
不妨假設(shè)x≥y，則27+3|x+y|+3（x-y）=27-6y=27-6rcosθ≤27+6$\sqrt{5}$，
故3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值是27+6$\sqrt{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角代換，絕對(duì)值不等式的解法，去掉絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．