Question

8．已知雙曲線的中心在坐標原點，且實軸長等于4，一條漸近線方程是y=2x，則雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$或$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．

Answer 1

分析 分類討論，利用實軸長等于4，一條漸近線方程是y=2x，求出a，b，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：焦點在x軸上，2a=4，$\frac{a}$=2，所以a=2，b=4，所以雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
焦點在y軸上，2a=4，$\frac{a}$=2，所以a=2，b=1，所以雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$或$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．

點評 本題給出焦點在x坐標軸上的雙曲線滿足的條件，求雙曲線的標準方程．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．