Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列；
（2）求通項a_n與前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （1）由條件可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{{a}_{n}}{n}$，由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）由（1）可得通項a_n，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）證明：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n．
可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{{a}_{n}}{n}$，
即有數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有a_n=n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
和S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{4}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$--n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
化簡可得，前n項的和S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．