Question

12．如圖，在曲線C：y=x²，x∈[0，1]上取點P（t，t²），過點P作x軸的平行線l，曲線C于直線x=0，x=1及直線l圍成的圖形面積分別記為S₁、S₂．
（1）求t的值，使S₁=S₂；
（2）求t的值，使S=S₁+S₂最�。�

Answer 1

分析 （1）考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，再根據(jù)S₁=S₂就可求出t值．
（2）由（1）可求當S₁+S₂，化簡后，為t的三次函數(shù)，再利用導數(shù)求最小值，就可求出t值．

解答 解：（1）設點P的橫坐標為t（0＜t＜1），則P點的坐標為（t，t²），
S₁=t³-${∫}_{0}^{t}$x²dx=$\frac{2}{3}$t³，S₂=${∫}_{t}^{1}$x²dx-t²（1-t）=$\frac{2}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$，
因為S₁=S₂，所以t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）S=S₁+S₂=$\frac{4}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$，
則S′=4t²-2t，令S′=0得t=0，t=$\frac{1}{2}$．
因為0＜t＜$\frac{1}{2}$時，S′＜0；$\frac{1}{2}$＜t＜1時，S′＞0，
所以，當t=$\frac{1}{2}$時，S_min=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了用定積分求兩曲線所圍圖形面積，以及導數(shù)求最值，做題時應認真分析．