Question

2．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{2y-x≤2}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=mx+y（m∈R）．
（1）若z取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則m=-2或1；
（2）若z僅在點（1，1）處取得最小值，則m的取值范圍是-2＜m＜1．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）要使z取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，可知直線y=-mx+z與y=2x-1或y=-x+2重合，由此求得m的值；
（2）數(shù)形結(jié)合直接得到-1＜-m＜2，則m的取值范圍可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{2y-x≤2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

（1）化目標(biāo)函數(shù)z=mx+y為y=-mx+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-mx+z與y=2x-1或y=-x+2重合時，
直線y=-mx+z在y軸上的截距最小，滿足z取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，此時-m=2或-m=-1，即m=-2或m=1；
（2）若z僅在點A（1，1）處取得最小值，則-1＜-m＜2，即-2＜m＜1．
故答案為：（1）-2或1；（2）-2＜m＜1．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．