Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．若D為B₁C₁的中點，求直線AD與平面A₁BC₁所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：法一：以A₁為原點，A₁B₁所在直線為x軸，A₁C₁所在直線為y軸，A₁A所在直線為z軸建系，利用向量法能求出AD與平面A₁BC₁所成的角．
法二：由已知條件推導出AB₁⊥平面A₁BC₁，設AB₁與A₁B相交于點O，則點O是線段AB₁的中點．連接AC₁，由已知條件推導出∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成的角，由此能求出AD與平面A₁BC₁所成的角．

解答： （理）解法一：如圖1以A₁為原點，A₁B₁所在直線為x軸，
A₁C₁所在直線為y軸，A₁A所在直線為z軸建系，
則A（0，0，1），D（

1

2

，

1

2

，0），則

AD

=（

1

2

，

1

2

，-1），（2分）
設平面A₁BC₁的一個法向量

n

=（x，y，z），
∵

A1 C1

=（0，1，0），

A1B

=（1，0，1），
∴

n • A1C1 =y=0 n • A1B =x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1），（6分）
設AD與平面A₁BC₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AD

，

n

＞|=|

1 2 +0+1

3 2 • 2

|=

3

2

．（10分）
∴AD與平面A₁BC₁所成的角為

π

3

．（12分）
解法二：由題意知四邊形AA₁B₁B是正方形，∴AB₁⊥BA₁．
由AA₁⊥平面A₁B₁C₁，得AA₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥A₁B₁，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥AB₁．
從而得  AB₁⊥平面A₁BC₁，（4分）
設AB₁與A₁B相交于點O，則點O是線段AB₁的中點．
連接AC₁，由題意知△AB₁C₁是正三角形．
由AD，C₁O是△AB₁C₁的中線知：AD與C₁O的交點為重心G，連接OG．
知AB₁⊥平面A₁BC₁，∴OG是AD在平面A₁BC₁上的射影，
于是∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成的角．（6分）
在直角△AOG中，AG=

2

3

，AD=

3

3

，AB₁=

6

3

AB，AO=

2

2

AB，
∴sin∠AGO=

AO

AG

=

3

2

．（10分）
故∠AGO=

π

3

，即AD與平面A₁BC₁所成的角為

π

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面所成的角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．