Question

已知函數(shù)：f（x）=（a∈R且x≠a）．
（1）證明：f（x）+f（2a﹣x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇a+，a+1]時(shí)，求證：f（x）的值域?yàn)閇﹣3，﹣2]；
（3）若a＞，函數(shù)g（x）=x²+|（x﹣a） f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

（1）證明：∵f（x）==﹣1，
∴f（2a﹣x）=﹣1=﹣﹣1，
∴f（x）+f（2a﹣x）+2=+（﹣）﹣2+2=0，與x取值無關(guān)．
∴f（x）+f（2a﹣x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）證明：∵f（x）的定義域?yàn)?IMG style="WIDTH: 83px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120828/201208280943564481782.png">，
∴﹣1﹣a≤﹣x≤﹣a﹣，﹣1≤a﹣x≤﹣，﹣2≤≤﹣1，
又f（x）=﹣1，
∴﹣3≤﹣1≤﹣2，即f（x）的值域?yàn)閇﹣3，﹣2]．
（3）解：函數(shù)g（x）=x²+|x+1﹣a|，（x≠a），
①當(dāng)x≥a﹣1且x≠a時(shí)，g（x）=x²+x+1﹣a=（x+）²+﹣a，
當(dāng)a＞時(shí)，a﹣1＞﹣，函數(shù)在[a﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（a﹣1）=（a﹣1）²，
②當(dāng)x≤a﹣1時(shí)，g（x）=x²﹣x﹣1+a=（x﹣）²+a﹣，
如果a﹣1＞即a＞時(shí)，g（x）_min=g（）=a﹣，
如果a﹣1≤即a≤時(shí)，g（x）在（﹣∞，a﹣1）上為減函數(shù)，g（x）_min=g（a﹣1）=（a﹣1）²，
當(dāng)a＞時(shí)，（a﹣1）²﹣（a﹣）=（a﹣）²＞0，
綜合可得，當(dāng)＜a≤時(shí)，g（x）的最小值是（a﹣1）²；
當(dāng)a＞時(shí)，g（x）的最小值是a﹣．