Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；

（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)分別作曲線和的切線，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：

Answer 1

（1）最大值為 無(wú)最小值 （2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：第（1）問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求解函數(shù)的最值；第（2）問(wèn)背景為指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱的特征，得到過(guò)原點(diǎn)的切線也關(guān)于直線對(duì)稱，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點(diǎn)存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問(wèn)題，得到不等式的證明．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706213823776097/SYS201507070622531468798302_DA/SYS201507070622531468798302_DA.007.png">．

對(duì)求導(dǎo)，得．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以，沒(méi)有最小值．

（2）設(shè)切線的方程為，切點(diǎn)為，則，

，所以，，則.

由題意知，切線的斜率為，的方程為．

設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，則，

所以，．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706213823776097/SYS201507070622531468798302_DA/SYS201507070622531468798302_DA.034.png">，消去和后，整理得．

令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

若，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706213823776097/SYS201507070622531468798302_DA/SYS201507070622531468798302_DA.044.png">，，所以，

而在上單調(diào)遞減，所以．

若，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706213823776097/SYS201507070622531468798302_DA/SYS201507070622531468798302_DA.050.png">在上單調(diào)遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知，．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性、最值.