3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（4，0），若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則a的取值范圍是0＜a≤2．

分析 若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個結(jié)論可以求出b2≥3a2，利用c=4，即可求出a的取值范圍．

解答 解：∵過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，
∴該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，
∴$\frac{a}$≥$\sqrt{3}$，
∴b2≥3a2，
∵c=4
∴16≥4a2，
∴0＜a≤2
故答案為：0＜a≤2．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，長軸為2$\sqrt{3}$，則橢圓C的方程為（　�。�
A．$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1B．$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1C．$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1D．$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

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14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F2（1，0），點（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）在橢圓上．
（I）求橢圓的離心率；
（II）點M在圓x2+y2=b2上，且M在第一象限，過M作圓x2+y2=b2的切線交橢圓于P，Q兩點，求證：△PF2Q的周長是定值．

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11．將$\root{3}{2^2}$化成分數(shù)指數(shù)冪為（　�。�
A．${2^{\frac{3}{2}}}$B．$2^{-\frac{1}{2}}$C．$2^{\frac{1}{3}}$D．$2^{\frac{2}{3}}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

18．eln9=9，lg8+lg125=3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．頂點在x軸上，兩頂點間的距離為4，離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線與直線y=kx（k∈R）無交點，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�
A．[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]B．（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，∞）C．（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）D．（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．已知a＞0，a≠1，則f（x）=loga$\frac{2x+1}{x-1}$的圖象恒過點（　�。�
A．（1，0）B．（-2，0）C．（-1，0）D．（1，4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．設(shè)條件p：實數(shù)x滿足x2-3ax+2a2＜0（a＞0）；條件q：實數(shù)x滿足x2-5x+4＞0，且命題“若p，則q”的逆否命題為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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13．若|z|=1，則|z+$\frac{1}{z}$|的取值范圍[0，2]．

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