如圖,在△ABC中,|
AB
|=3,|
AC
|=1,l為BC的垂直平分線且交BC于點(diǎn)D,E為l上異于D的任意一點(diǎn),F(xiàn)為線段AD上的任意一點(diǎn).
(1)求
AD
•(
AB
-
AC
)的值;
(2)判斷
AE
•(
AB
-
AC
)的值是否為一常數(shù),并說明理由;
(3)若AC⊥BC,求
AF
•(
FB
+
FC
)的最大值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)向量的平行四邊形法則,
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)
,所以帶入即可求解.
(2)
AE
•(
AB
-
AC
)
是否為常數(shù),求出來看一下就可以了.將
AE
=
AD
+
DE
帶入即可,因?yàn)镈E⊥BC,所以
DE
•(
AB
-
AC
)=
DE
CB
=0
,這樣便能求出它的值了.
(3)因?yàn)?span id="4oaen09" class="MathJye">
FB
+
FC
=2
FD
,所以
AF
•(
FB
+
FC
)=2
AF
FD
,這時(shí)候,
AF
FD
共線,且都可以用
AD
表示.設(shè)
AF
AD
,則
FD
=(1-λ)
AD
,所以帶入便得到2λ(1-λ)
AD
2
,根據(jù)條件求出AD的長度即可.
解答: 解:(1)
AD
•(
AB
-
AC
)=
1
2
(
AB
+
AC
)(
AB
-
AC
)=
1
2
(
AB
2
-
AC
2
)=4
=
1
2
(
AB
2
-
AC
2
)=4

(2)
AE
•(
AB
-
AC
)=(
AD
+
DE
)
•(
AB
-
AC
)=
AD
•(
AB
-
AC
)+
DE
CB
=4.
AE
•(
AB
-
AC
)
的值是一常數(shù).
(3)∵AC⊥BC,|
AB
|=3,|
AC
|=1
;
|
BC
|=2
2
,|
DC
|=
2

|
AD
|=
1+2
=
3
,設(shè)
AF
AD
,則
FD
=(1-λ)
AD
;
AF
•(
FB
+
FC
)=λ
AD
•(2
FD
)
=λ
AD
•[2(1-λ)
AD
]
=6λ(1-λ)=-6(λ-
1
2
)2+
3
2
;
λ=
1
2
時(shí),
AF
•(
FB
+
FC
)
取最大值
3
2
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)為:向量加法的平行四邊形法則,兩垂直向量的數(shù)量積為0,共線向量基本定理,并注意中線向量的應(yīng)用.
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2
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OM
ON
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4
a-1
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x2
3
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a
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