Question

9．判斷下列函數的奇偶性．
（1）f（x）=sinx-cosx+1；
（2）f（x）=$\frac{1}{1+{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）∵f（$\frac{π}{2}$）=sin$\frac{π}{2}$-cos$\frac{π}{2}$+1=1+1=2，f（-$\frac{π}{2}$）=sin（-$\frac{π}{2}$）-cos（-$\frac{π}{2}$）+1=-1+1=0，
∴f（-$\frac{π}{2}$）≠f（$\frac{π}{2}$），且f（-$\frac{π}{2}$）≠-f（$\frac{π}{2}$），即函數f（x）是非奇非偶函數．
（2）f（x）=$\frac{1}{1+{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-1-{e}^{x}}{2（1+{e}^{x}）}$=$\frac{1-{e}^{x}}{2（1+{e}^{x}）}$，
∵f（-x）=$\frac{1-{e}^{-x}}{2（1+{e}^{-x}）}$=$\frac{{e}^{x}-1}{2（{e}^{x}+1）}$=-$\frac{1-{e}^{x}}{2（1+{e}^{x}）}$，
∴f（-x）=-f（x），
即函數f（x）是奇函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性的判斷，根據函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵．