Question

19．已知關(guān)于x的不等式$\frac{ax-5}{x-{a}^{2}}$＞0的解集為M，
（1）當(dāng)a=2，求集合M；
（2）若1∈M且4∉M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，原不等式可化為$\frac{2x-5}{x-4}$＞0，由穿根法可解；
（2）由題意可得$\frac{a-5}{1-{a}^{2}}$＞0且$\frac{4a-5}{4-{a}^{2}}$≤0，由穿根法解關(guān)于a的不等式組可得．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，原不等式可化為$\frac{2x-5}{x-4}$＞0，
由穿根法可得解集M={x|x＜$\frac{5}{2}$或x＞4}；
（2）∵1∈M且4∉M，∴$\frac{a-5}{1-{a}^{2}}$＞0且$\frac{4a-5}{4-{a}^{2}}$≤0，
由穿根法解$\frac{a-5}{1-{a}^{2}}$＞0可得a＜-1或1＜a＜5，
同理解$\frac{4a-5}{4-{a}^{2}}$≤0可得-2＜a≤$\frac{5}{4}$或a＞2，
∴a的取值范圍為：-2＜a＜-1或1＜a≤$\frac{5}{4}$或2＜a＜5

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式不等式的解法，涉及穿根法和集合的運(yùn)算，屬中檔題．