Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱有“※點(diǎn)”。

（1）判斷函數(shù)在上是否有“※點(diǎn)”。并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上有“※點(diǎn)”，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）令，利用零點(diǎn)存在定理，判斷端點(diǎn)處的函數(shù)值是否異號(hào)即可；

（2）若函數(shù)在（0，+∞）上有“※點(diǎn)”，只需方程在該區(qū)間上有實(shí)根，然后將對(duì)數(shù)方程化為二次方程，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決．

（1）由題意知，令，則為g（x）的零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上至少有1個(gè)實(shí)根，即至少有1個(gè)實(shí)根，

所以函數(shù)在上有“※點(diǎn)”。

（2）若函數(shù)在上有“※點(diǎn)”，則存在實(shí)數(shù)，使得成立，即，

整理得，。

當(dāng)a=2時(shí)，，不合題意

當(dāng)時(shí)，令，則在上有零點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸，在上單調(diào)遞減，，

所以在上恒小于零，不合題意，當(dāng)時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸，

由題意只要，即，解得。因?yàn)?/span>，所以.綜上所述：。