Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD⊥DC，DC∥AB，PA=AB=2，AD=DC=1．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）E為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求四棱錐D-EFCP的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：PA⊥BC，由AB²=AC²+BC²，可得BC⊥AC，再利用線面垂直的判定定理即可證明．
（2）由于S_{四邊形PEFC}=$\frac{3}{4}{S}_{△PBC}$，可得V_D-PEFC=$\frac{3}{4}{V}_{D-PBC}$=$\frac{3}{4}{V}_{P-BCD}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}PA×{S}_{△BCD}$，即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
連接AC，∵AD=CD，AD⊥CD，
∴AC=$\sqrt{2}$，
由余弦定理可得：BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos45°=2，
∴BC=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴PC⊥BC．
（2）解：S_{四邊形PEFC}=$\frac{3}{4}{S}_{△PBC}$，
∴V_D-PEFC=$\frac{3}{4}{V}_{D-PBC}$=$\frac{3}{4}{V}_{P-BCD}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}PA×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{4}×2$×$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、余弦定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．