Question

已知數(shù)列各項(xiàng)均不相等，將數(shù)列從小到大重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列稱為數(shù)列的排序數(shù)列，例如：數(shù)列滿足，則排序數(shù)列為2，3，1.

（Ⅰ）寫出數(shù)列2，4，3，1的排序數(shù)列；

（Ⅱ）求證：數(shù)列的排序數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列為單調(diào)數(shù)列；

（Ⅲ）若數(shù)列的排序數(shù)列仍為，那么是否一定存在一項(xiàng)，證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（Ⅰ）排序數(shù)列為4,1,3,2.-

（Ⅱ）證明：充分性：

 當(dāng)數(shù)列單調(diào)增時(shí)，∵…,

∴排序數(shù)列為1,2,3，…，n.

∴排序數(shù)列為等差數(shù)列.

當(dāng)數(shù)列單調(diào)減時(shí)，∵…,

∴排序數(shù)列為n,n-1,n-2，…，1 .

∴排序數(shù)列為等差數(shù)列.

綜上，數(shù)列為單調(diào)數(shù)列時(shí)，排序數(shù)列為等差數(shù)列.

必要性：

∵排序數(shù)列為等差數(shù)列

∴排序數(shù)列為1,2,3，…，n或n,n-1,n-2，…，1.

∴…或…

∴數(shù)列為單調(diào)數(shù)列.

（Ⅲ）∵數(shù)列的排序數(shù)列仍為

∴數(shù)列是1,2,3，…，n的某一個(gè)排序，

假設(shè)不存在一項(xiàng)，即，

則在各項(xiàng)從小到大排列后排在第位

∴排序數(shù)列中，∴n為偶數(shù)12分.

∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，一定存在一項(xiàng),

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不一定存在一項(xiàng).