【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1F2在坐標(biāo)軸上,焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的倍且過(guò)點(diǎn)(4,﹣

1)求雙曲線方程;

2)若點(diǎn)M3m)在雙曲線上,求證:點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上;

3)在(2)條件下,若M F2交雙曲線另一點(diǎn)N,求F1MN的面積.

【答案】1x2y2=6;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)求出離心率e,故可等軸設(shè)雙曲線的方程為x2y2=λλ≠2),過(guò)點(diǎn)(4,﹣),可得1610=λ,即可求雙曲線方程;

2)求出向量坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積公式,即可證明結(jié)論.

3)利用MF2可得直線方程,求出N的縱坐標(biāo),然后求解三角形的面積.

1)∵焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的倍,

e=,故可等軸設(shè)雙曲線的方程為x2y2=λλ≠2),

∵過(guò)點(diǎn)(4,﹣),∴1610=λ,

λ=6.

∴雙曲線方程為x2y2=6.

2)證明:由(1)可知:在雙曲線中,a=b=,∴c=2.

F1(﹣2,0),F22,0.

=(﹣23,﹣m),

=23,﹣m.

=+m2=3+m2.

M點(diǎn)在雙曲線上,∴9m2=6,∴m2=3.

,

∴點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上;

3)由(2)不妨M3),F22,0),直線M F2的方程為:y=(﹣2)(x2),代入雙曲線方程可得:

消去x可得:(64y242y+6=0

因?yàn)?/span>M的縱坐標(biāo)為,

所以N的縱坐標(biāo)為:

解得y2=﹣(2+),

F1MN的面積為: =12+4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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