Question

6．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，若E，F(xiàn)為BD₁的兩個三等分點，G為長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上的動點，則∠EGF的最大值是（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出當(dāng)動點G為長方體的上下兩個面的中心時，∠EFG最大，最大值為90°．

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；
長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，
所以長方體的體對角線BD₁=3；
設(shè)BD₁的中點為O，因為E，F(xiàn)是BD₁的三等分點，
所以O(shè)E=OF=$\frac{1}{2}$，且長方體的高為1；
現(xiàn)以EF為直徑作一個球，這個球與長方體的上下兩個面相切于面的中心
（即該球與長方體的表面僅此兩個公共點）；
因此，當(dāng)G位于這兩個公共點處時，∠EFG最大，
此時EF為直徑，所以∠EFG=90°；
若G在長方體表面的其它位置時，則G必在該球的外部，∠EFG必小于90°；
所以∠EFG的最大值為90°．
故選：D．

點評 本題考查了空間中的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了求空間角的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法，是綜合性題目．