Question

14．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求證：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求二面角P-BC-D的大�。�

Answer 1

分析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
（Ⅰ）通過(guò)$\overrightarrow{PA}$與平面BDE的法向量的數(shù)量積為0即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DF}$=0，即得結(jié)論；
（Ⅲ）所求值即為平面PBC的法向量與平面BCD的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
設(shè)PD=CD=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）證明：∵E是PC的中點(diǎn)，∴E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-1），
又∵$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1）•（-1，1，-1）=0，
∴PA∥平面EDB；
（Ⅱ）證明：根據(jù)題意可設(shè)F（p，p，q），
則$\overrightarrow{PF}$=F（p，p，q-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{EF}$=（p，p-$\frac{1}{2}$，q-$\frac{1}{2}$），
∵EF⊥PB，∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{EF}$=（1，1，-1•（p，p-$\frac{1}{2}$，q-$\frac{1}{2}$）=0，
$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PB}$，即（p，p，q-1）=λ（1，1，-1），
解得p=$\frac{1}{3}$，q=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
又∵$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=（1，1，-1）•（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）=0，
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DF}$=（1，1，-1）•（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）=0，
∴PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）解：$\overrightarrow{CB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-1，1）．
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
又$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面BCD的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角P-BC-D的大小為$\frac{π}{4}$．
（本題還可直接求出二面角P-BC-D的平面角∠PCD的大�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中線面平行、線面垂直的判定，考查求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．