Question

15．已知點(diǎn)F（0，1），直線l₁：y=-1，直線l₁⊥l₂于P，連結(jié)PF，作線段PF的垂直平分線交直線l₂于點(diǎn)H．設(shè)點(diǎn)H的軌跡為曲線r．
（Ⅰ）求曲線r的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作曲線r的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D，
（�。┣笞C：直線CD過定點(diǎn)；
（ⅱ）若P（1，-1），過點(diǎn)O作動直線L交曲線R于點(diǎn)A，B，直線CD交L于點(diǎn)Q，試探究$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$是否為定值？若是，求出該定值；不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意推出|HF|=|HP|，利用拋物線定義，求解點(diǎn)H的軌跡方程．
（Ⅱ）（�。┳C明：設(shè)P（x₁，-1），切點(diǎn)C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出切線方程，然后求出直線CD的方程，說明直線CD過定點(diǎn)．
（ⅱ）求出直線CD的方程為$\frac{1}{2}x-y+1=0$．設(shè)l：y+1=k（x-1），求得x_Q=$\frac{4+2k}{2k-1}$，設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．
聯(lián)立y+1=k（x-1）與x²=4y，利用韋達(dá)定理，化簡$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$推出定值．

解答 滿分（13分）．
解：（Ⅰ）由題意可知，|HF|=|HP|，
∴點(diǎn)H到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線l₁：y=-1的距離相等，…（2分）
∴點(diǎn)H的軌跡是以點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)，直線l₁：y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，…（3分）
∴點(diǎn)H的軌跡方程為x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）證明：設(shè)P（x₁，-1），切點(diǎn)C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）．
由y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，得$y′=\frac{1}{2}x$．
∴直線PC：y+1=$\frac{1}{2}$x_C（x-x₁），…（5分）
又PC過點(diǎn)C，y_C=$\frac{1}{4}{{x}_{C}}^{2}$，
∴y_C+1=$\frac{1}{2}$x_C（x-x₁）=$\frac{1}{4}{{x}_{C}}^{2}$$-\frac{1}{2}$x_Cx₁，
∴y_C+1=${2{y}_{C}-\frac{1}{2}x}_{C}{x}_{1}$，即$\frac{1}{2}{x}_{C}{x}_{1}-{y}_{C}+1=0$．…（6分）
同理$\frac{1}{2}{x}_{D}{x}_{1}-{y}_{D}+1=0$，
∴直線CD的方程為$\frac{1}{2}x{x}_{1}-y+1=0$，…（7分）
∴直線CD過定點(diǎn)（0，1）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，-1）在直線CD的方程為$\frac{1}{2}x{x}_{1}-y+1=0$，
得x₁=1，直線CD的方程為$\frac{1}{2}x-y+1=0$．
設(shè)l：y+1=k（x-1），
與方程$\frac{1}{2}x-y+1=0$聯(lián)立，求得x_Q=$\frac{4+2k}{2k-1}$．…（9分）
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．
聯(lián)立y+1=k（x-1）與x²=4y，得
x²-4kx+4k+4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x_A+x_B=4k．x_Ax_B=4k+4…（10分）
∵x_Q-1，x_A-1，x_B-1同號，
∴$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$=|PQ|$（\frac{1}{\left|PA\right|}+\frac{1}{\left|PB\right|}）$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{Q}-1|$$•\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}（\frac{1}{|{x}_{A}-1|}+\frac{1}{|{x}_{B}-1|}）$
=$|{x}_{Q}-1|（\frac{1}{|{x}_{A}-1|}+\frac{1}{|{x}_{B}-1|}）$…（11分）
=$（\frac{4+2k}{2k-1}-1）•\frac{{x}_{A}{+x}_{B}-2}{{（x}_{A}-1）{（x}_{B}-1）}$
=$\frac{5}{2k-1}•\frac{4k-2}{5}=2$，
∴$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$為定值，定值為2．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查直線、拋物線、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查考生分析問題和解決問題的能力．