Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求DE與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABCD為菱形，從而AC⊥BD，證明PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可證明PC⊥BD；
（2）證明∠EDO就是DE與平面PAC所成的角，即可求得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD；
（2）解：由底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，知BD=2，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$AC•BD•PA=4，可得PA=2$\sqrt{3}$，
由（1）知BD⊥平面PAC，
∴DE在平面PAC的射影為OE，
∴∠EDO就是DE與平面P所AC成的角，
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$PA=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△DOE中，tan∠EDO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EDO=30°
即DE與平面PAC所成的角為30°．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．