Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x的極值；
（2）若x∈R時，f（x）≥ax+1恒成立，求實數(shù)a的值；
（3）當a＞1時，求證：F（x）=f（x）-ax-1在區(qū)間（lna，2lna）上有且僅有一個零點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得g′（x）=e^x-1，令g′（x）=e^x-1=0，得：x=0，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)g（x）=f（x）-x的極值．
（2）由題意得e^x≥ax+1恒成立，由此利用分類討論思想能求出a=1．
（3）F（x）=f（x）-ax-1=e^x-ax-1，F(xiàn)′（x）=e^x-a，令F′（x）=e^x-a=0，得x=lna，由此利用導數(shù)性質結合已知條件能求出F（x）=f（x）-ax-1在區(qū)間（lna，2lna）上有且僅有一個零點．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）-x=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=e^x-1=0，得：x=0，
當x＜0時，g′（x）=e^x-1＜0，函數(shù)y=g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
當x＞0時，g′（x）=e^x-1＞0，
函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴當x=0時，函數(shù)y=g（x）有極小值，極小值為g（0）=1，無極大值．…（3分）
（2）由題意得e^x≥ax+1恒成立，
①當x=0時，不等式e^x≤ax+1成立，這時a∈R；…（4分）
②當x＞0時，不等式e^x≥ax+1恒成立，即：a≤

ex-1

x

恒成立；
由（1）得當x＞0時，e^x-x＞1，∴e^x-1＞x，
∴

ex-1

x

＞1，解得a≤1；…（5分）
③當x＜0時，不等式e^x≥ax+1恒成立，即a≥

ex-1

x

恒成立；
由（1）可得當x＜0時，e^x-x＞1，∴e^x-1＞x，∴

ex-1

x

＜1，∴a≥1，…（7分）
綜上得：a=1．…（8分）
（3）F（x）=f（x）-ax-1=e^x-ax-1，F(xiàn)′（x）=e^x-a，
令F′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
當x＜lna時，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)y=F（x）在（-∞，lna）上為減函數(shù)；
當x＞lna時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)y=F（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)；
∵a＞1，lna＞0，∴F（lna）＜F（0）=0．…（11分）
下證：F（2lna）=a²-2ala-1＞0．令P（a）=a²-2alna-1，（a＞1）
p′（a）=2a-2lna-2=2（a-lna-1）．
下面證明：當a＞1時，a-lna-1＞0，
由（1）可得：當x＞0時，e^x-x＞1，即：e^x＞x+1，
兩邊取對數(shù)得：
x＞ln（x+1），令a=x+1＞1，即得：a-1＞lna，
從而a-lna-1＞0，p′（a）=2a-2lna-2=2（a-lna-1）＞0，
P（a）=a²-2alna-1在（1，+∞）為增函數(shù)，P（a）=a²-2alna-1＞P（1）=0，
即：F（2lna）=a²-2alna-1＞0，…（14分）
∵F（lna）＜0，F(xiàn)（2lna）＞0，由零點存在定理，
函數(shù)F（x）=f（x）-ax-1在區(qū)間（lna，2lna）必存在一個零點，（15分）
又∵函數(shù)y=F（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)，
∴F（x）=f（x）-ax-1在區(qū)間（lna，2lna）上有且僅有一個零點．…（16分）

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．