Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+1-a）+1在x=0處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x-1）=x²-2x+q在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)q的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=f（x-1），試比較

1

2-g(2)

+

1

3-g(3)

+…+

1

n-g(n)

與

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N^*，n≥2）的大�。�

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=x-ln（x+1-a）+1在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，進而得到實數(shù)a的值；
（2）由（1）得f（x-1）=x-lnx，令h（x）=x²-3x+lnx+q（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)法可得：h（x）在[

1

2

，1]上遞減，在[1，2]上遞增，若方程f（x-1）=x²-2x+q在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，即h（x）在[

1

2

，2]上恰有兩個零點，進而構(gòu)造關(guān)于q的不等式組，解得實數(shù)q的取值范圍；
（3）由k-g（k）=lnk得：

1

2-g(2)

+

1

3-g(3)

+…+

1

n-g(n)

=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

，設(shè)φ(x)=lnx-

1

4

(x2-1)，利用導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)φ（x）在[2，+∞）上是減函數(shù)，進而當x≥2時，lnx＜

1

4

(x2-1)，進而根據(jù)裂項相消法可得原不等式成立．

解答： 解（1）∵f（x）=x-ln（x+1-a）+1，
∴f′(x)=1-

1

x+1-a

，
又∵函數(shù)f（x）=x-ln（x+1-a）+1在x=0處取得極值，
∴f′（0）=1-

1

1-a

=0，
解得：a=0
（2）由（1）得f（x-1）=x-lnx，
∴x²-3x+lnx+q=0
令h（x）=x²-3x+lnx+q（x＞0），
則h′(x)=

(2x-1)(x-1)

x

…（4分）
令h'（x）＜0得

1

2

＜x＜1，
所以h（x）在[

1

2

，1]上遞減，在[1，2]上遞增；…（6分）
若方程f（x-1）=x²-2x+q在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
即h（x）在[

1

2

，2]上恰有兩個零點，
故

h( 1 2 )≥0 h(1)＜0 h(2)≥0

⇒

q- 5 4 -ln2≥0 q-2＜0 q-2+ln2≥0

⇒

5

4

+ln2≤q＜2…（8分）
（3）因為k-g（k）=lnk，
所以

1

2-g(2)

+

1

3-g(3)

+…+

1

n-g(n)

=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

，
設(shè)φ(x)=lnx-

1

4

(x2-1)，則φ′(x)=

1

x

-

x

2

，
所以當x≥2時 φ'（x）＜0
因此函數(shù)φ（x）在[2，+∞）上是減函數(shù)，
所以當x≥2時，φ(x)=lnx-

1

4

(x2-1)≤φ(2)=ln2-

3

4

＜0
即當x≥2時，lnx＜

1

4

(x2-1)…（11分）
∴當x≥2時，

1

lnx

＞

4

x2-1

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)，

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞2[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=2(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3n2-n-2

n(n+1)

∴原不等式成立．…（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，運算量大，綜合性強，轉(zhuǎn)化過程復(fù)雜，屬于難題．