【題目】如圖所示,已知三棱錐P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB的中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(1)求證:平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題分析:(1)在△APB中可證得AP⊥PB,再由條件可證得AP⊥平面PBC,從而得AP⊥BC,又AC⊥BC,AP∩AC=A,故可得BC⊥平面PAC,可得平面PAC⊥平面ABC. (2) 由PA⊥PC,PA⊥PB,可得∠BPC是二面角D-AP-C的平面角,在中,可得即為所求。
試題解析:
(1)因為D是AB的中點,△PDB是正三角形,AB=20,
所以PD=AB=10,
所以AP⊥PB.
又AP⊥PC,PB∩PC=P,
所以AP⊥平面PBC.
又BC平面PBC,
所以AP⊥BC.
又AC⊥BC,AP∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
又BC平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因為PA⊥PC,且PA⊥PB,
所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAC,
則BC⊥PC,
在中,
所以。
所以二面角D-AP-C的正弦值為。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解兩班學(xué)生寒假期間觀看《中國詩詞大會》的時長,分別從這兩個班中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,將他們觀看的時長(單位:小時)作為樣本,繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個位數(shù)字).
(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值,并據(jù)此估計哪個班的學(xué)生平均觀看的時間較長;
(2)從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為,從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為,求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校運動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊.
學(xué)生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳遠(yuǎn) (單位:米) | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳繩 (單位:次) | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a-1 | b | 65 |
在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則( )
A. 2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B. 5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽
C. 8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D. 9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電動小汽車生產(chǎn)企業(yè),年利潤(出廠價投入成本)年銷售量.已知上年度生產(chǎn)電動小汽車的投入成本為萬元/輛,出廠價為萬/輛,年銷售量為輛,本年度為打造綠色環(huán)保電動小汽車,提高產(chǎn)品檔次,計劃增加投入成本,若每輛電動小汽車投入成本增加的比例為(),則出廠價相應(yīng)提高的比例為.同時年銷售量增加的比例為.
(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤(萬元)與投入成本增加的比例的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了使本年度的年利潤最大,每輛車投入成本增加的比例應(yīng)為多少?最大年利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求方程的實數(shù)解;
(Ⅱ)如果數(shù)列滿足,(),是否存在實數(shù),使得對所有的都成立?證明你的結(jié)論.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項的和為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,嵩山上原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC,小李在山腳B處看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ABC=120°;從B處攀登400米到達(dá)D處,回頭看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ADC=150°;從D處再攀登800米方到達(dá)C處,則索道AC的長為________米.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,左頂點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點, 是橢圓上的兩點,連接的直線平行交軸于點,證明: 成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①點P(-1,4)到直線3x+4y =2的距離為3.
②過點M(-3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為.
③命題“x∈R,使得x2﹣2x+1<0”的否定是真命題;
④“x ≤1,且y≤1”是“x + y ≤2”的充要條件.
其中不正確命題的序號是 _______________ 。ò涯阏J(rèn)為不正確命題的序號都填上)
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